Karakteristik Gelanggang Bilangan Bulat dan Pengaitannya dengan Tiga Struktur Khusus Daerah Integral

Abstract

Himpunan Ζ merupakan himpunan semua bilangan bulat aljabar. Himpunan Ζ membentuk suatu struktur aljabar, yaitu gelanggang. Number field Κ merupakan lapangan perluasan dari  dengan derajat berhingga. Ketika himpunan Ζ dan Κ diiriskan maka membentuk suatu gelanggang yang dinamakan gelanggang bilangan bulat (ring of integer) dari number field .

Suatu bilangan bulat Ζ dapat difaktorisasi dan faktorisasinya tunggal. Ketunggalan faktorisasi ini memotivasi suatu daerah integral yang dinamakan daerah faktorisasi tunggal. Himpunan bilangan bulat Ζ juga merupakan daerah ideal utama. Beberapa sifat yang dimiliki daerah ideal utama memotivasi suatu daerah integral dengan struktur berbeda  yang dinamakan daerah Dedekind. Daerah Dedekind D adalah suatu daerah integral yang merupakan gelanggang Noetherian, tertutup secara integral dalam lapangan hasil baginya, dan setiap ideal prima dalam D merupakan ideal maksimal. Oleh karena daerah Dedekind ternyata mempunyai sifat yang serupa dengan Ζ, maka daerah Dedekind dapat dipandang sebagai abstraksi dari Ζ.

Dalam makalah ini, dibahas mengenai karakteristik gelanggang bilangan bulat O_K memenuhi karakteristik pada daerah Dedekind. Namun, jika gelanggang bilangan bulat O_K dikaitkan daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal maka memunculkan suatu hubungan yang tidak ekuivalen.

Kata kunci : daerah Dedekind, daerah faktorisasi tunggal, daerah ideal utama, gelanggang Noetherian